【数学の雑学:8選】数学のヤバい裏話を現役九大生が解説～数学が面白くなる話～

私たちは小学校に入ってから算数という科目を勉強し始め、ものの数え方や、足し算引き算のしかたや、三角形の面積の求め方など様々なことを学んできました。そして、中学校に入ると算数という科目は、数学へと名前を変え、小学校の時に勉強していたことよりも少し難しいことを勉強するようになります。数字ではなく文字を使った計算や、方程式や、関数のグラフといったようなものがそうです。

高校に入ると数学はもっと難しくなり、買い物で使うお釣りの計算などとは違い、どのような意味があるのかもわからないような対象について学ぶことが増え、『数学なんか勉強して何になるんだ？』と思うことや、『数学の何がおもしろいんだ？』と思うこともあるかもしれません。

この記事ではそんな人でも『数学ってこういうおもしろさがあるんだ！』と思えるような数学小話・雑学を紹介しようと思います。数学っておもしろいんだと、少しでも感じてもらえると嬉しいです。

なお、お勉強の事でお困りの際は、是非私たち家庭教師にご相談ください。

数学雑学①証明が100通り以上もある定理がある？

まず、証明が100通り以上も知られている定理を一つ紹介しようと思います。

定理というのは、数学的に正しいことが証明されている事実のことをいいます。例えば、『偶数を2乗すると偶数になる』これは数学的に正しいということが証明できますので、定理です。ですが、実際には正しいと証明された数学的な事実の中でも重要なものを特に定理ということが多いようです。

では、私たちが学校で1番最初に習う、ちゃんと定理と名前のついた定理はなんでしょうか。それは、中学3年生のときに習う『三平方の定理』ではないでしょうか。（ピタゴラスの定理ともいいます）

三平方の定理の主張はこうです。『直角三角形において、斜辺の長さの2乗は残りの2辺の長さの2乗の和に等しい』というものです。（斜辺というのは直角三角形の1番長い辺のことです）どういうことかというと、直角三角形の斜辺の長さをc、残りの2辺の長さをそれぞれa、bとすると、

が成り立つということです。

そして、実はこの「三平方の定理」こそがここで私が紹介する『証明が100通り以上も知られている定理』なんです。

三平方の定理を発見したのは古代ギリシャの数学者ピタゴラス（紀元前582〜紀元前496）で、ピタゴラスの生きた時代から、とても歴史のある定理だということがわかります。三平方の定理は図形の分野でとても重要な定理であることと、非常にシンプルな数式で表せることから、とても人気のある定理です。それゆえに多くの人が三平方の定理の新しい証明に挑戦したことで、100以上の証明法が見つかったと言われています。

三平方の定理について書かれた本はたくさんありますし、ネットでも『三平方の定理　証明』とでも調べれば証明はたくさん出てくると思います。三平方の定理に興味を持ってくれた方はぜひ調べみてください。

数学雑学②三角形の内角の和が180°じゃない？

次も、三角形に関する話題です。私たちは、小学校で三角形の性質について様々なことを学びました。そのうちの1つがこの、『三角形の内角の和は180°である』というものです。当たり前だと感じるかもしれませんが、今までずっと『三角形の内角の和は180°』として勉強してきて、そのことを疑う機会なんてなかったため無理もないことです。

では、私たちが小学校で最初に『三角形の内角の和は180°』であることを習ったとき、私たちは、先生からどんな説明を受けたでしょうか。

私の小学校の先生はこのように『三角形の内角の和が180°』であることを説明してくれました。まず、黒板に画用紙で作った三角形を貼ります。次に、その三角形の2つの角を切って残りの角のところに持っていき、３つの角を頂点と頂点、辺と辺をくっつけるようにして並べます。すると3つの角は直線、すなわち180°の角をなします。

数学的にはこれでは証明にはなっていませんが、小学生に説明する分にはこれでも良いのかと思います。とにかく、このようにして『三角形の内角の和が180°』であることが説明できました。

では、タイトルにある『三角形に内角の和が180°じゃない？』ってなんだったんだと思うかもしれません。結論から言うと、内角の和が180°ではない三角形は存在します。どんな三角形かと言うと、それは『球面上にある三角形』です。

先ほど述べた『三角形の内角の和が180°』である説明は、『黒板に画用紙で作った三角形を貼って』とあるように『平面上にある三角形』の話しかしていないのです。

ですから、平面上では三角形の内角の和は絶対に180°だと分かっても、球面上でどうかはわからないのです。実際、平面上ではすべての角が90°の三角形は存在しませんが（和が270°になって180°を超えてしまいますから）球面上ではすべての角が90°となるような三角形は存在します。

平面と球面といった違う世界でなにかを考えると、世界によって違う結論が得られることがあります。今回の例でいうと、世界によって三角形の内角の和が必ず180°になったり必ずしも180°にならなかったりというのがそうです。他にもこのような例を挙げることができます。気になった方は、調べてみてください。

数学雑学③描くことのできない直線がある？

いきなりですが、作図ってしたことありますか？　

そうです、コンパスと定規を使って色々な図形を描く、それです。私たちは小学校や中学校で色んな作図法を学んできました。

例えば、正三角形。与えられた1辺の長さをコンパスでとって、辺の1端を中心として半径の長さがその1辺の長さとなるような円を描きます。辺のもう1端についても同じことをすると、円が2つ描けます。2つの円には交点ができているはずですから、その交点と元々あった1辺の両端を定規で結んであげれば正三角形ができるという具合でした。

まったく同じようにとはいきませんが、正五角形の作図も少し工夫すればできます。私たちが学校で習ったのは他には、与えられた直線の垂直二等分線の作図方法だったり、与えられた角の二等分線の作図方法だったりといろいろなものがありました。

今挙げた例はどれもそんなに難しいものではありませんが、初めてこれらの問題を初めて見たときは、どう手をつけていいかわからなかった人も多いのではないのでしょうか。かくいう私もその1人なのですが・・・。そして、その作図方法を先生に教えてもらったときには、その度に「このような手順を踏めばできるのか」と感心したものです。どんなに難しい作図の問題でもなにかしらの工夫を施せば必ずできるような感覚にさえなってきます。

ですが、本当にどんなに難しい作図の問題でも、なにかしらの工夫を施せば必ずできるのでしょうか。次のような作図の問題を考えてみましょう。

『与えられた角の3等分線を作図せよ』

私たちが学校で習ったのは、与えられた角の2等分線を作図する方法でした。今回の場合2等分ではなく3等分です。

確かに難しそうですが、なんとか工夫を凝らせばできるんじゃないか、という気もします。

ところが実際はそうはいかず、与えられた角の3等分線を作図するというのは不可能なんです。コンパスをどう使っても定規でどんな直線を引いても、角の3等分線を作図する事はできないのです。(19世紀にヴァンツェルという数学者によって証明されました)

ここで勘違いしがちなのは、角の3等分線を作図できない、というのは角の3等分線が存在しないということではありません。実際、与えられた角を分度器で角度を測って3で割れば、角の3等分線を描く事はできます。ただ、これではコンパスや定規のみを使ったわけではないから作図とは言えないのです。

角の3等分線は確かに存在するのに、コンパスや定規を使って作図する事はできない。なんだか不思議な話ですね。

数学雑学④3次方程式の解の公式

私たちは、中学校の3年生で2次方程式というものについて学びます。これから習うという人もいるかとは思いますので、2次方程式についてサッと説明しましょう。

2次方程式というのは

を満たすxを求めるというものです。このとき、

というふうに2次方程式の解は、方程式の係数を使って表すことができます。これを、2次方程式の解の公式といいます。

高校に入ると、3次方程式や4次方程式を扱うことも出てきますが、解の公式というものは基本的に授業では習いません。別の方法を使って解きます。では、3次方程式と4次方程式には解の公式はないのでしょうか？

実はそんなことはなく、3次方程式にも4次方程式にも解の公式はあります。3次方程式の方にはカルダノの公式という名前があります。

カルダノの公式と聞くと、カルダノという人が発見した公式のように思えますが、実はそうではありません。

カルダノの公式を見つけたのは、タルタリアという数学者なのですが、タルタリアは見つけた公式を訳あって公表しませんでした。

それでもカルダノはどうしても3次方程式の解の公式を知りたくて、タルタリアに頼み込んで2人だけの秘密ということでやっと教えてもらえることになりました。

ところが、カルダノはタルタリアとの約束を破って、自身の本の中で解の公式を発表してしまうのです。本の中でカルダノは一応、『この解の公式はタルタリアが発見しました』というようなことを書いたらしいのですが、3次方程式の解の公式には発表者であるカルダノの名前が付けられて、カルダノの公式と名づけられることになりました。ちなみに、約束を破られたタルタリアが激しく怒ったことは言うまでもありません。

数学雑学⑤4次方程式と5次方程式の解の公式

先ほど、3次方程式や4次方程式にも解の公式はあるという話をしました。ここからは4次方程式の解の公式の話です。

4次方程式の解の公式を見つけたのは、フェラーリという数学者で、この人は先ほど出てきたカルダノの弟子にあたる人です。今回は、ちゃんとフェラーリが4次方程式の解の公式を見つけています。

『そういえば、さっきから3次方程式や4次方程式が存在するということを紹介しているのに、実際のその公式を見せてくれないな』と思っている人もいるかもしれませんが、これにはちゃんとわけがあります。

というのも、これらの解の公式、すごく長いのです。2次方程式の解の公式は1行でささっと書けますが、3次方程式の解の公式はここに書こうとすると何行にも渡ってしまうくらい長く、4次方程式の解の公式はそれよりも更に長いためその2つをちゃんと書いて紹介しようとすると2、3ページに渡ってしまうため、ここでは省略させていただきました。

それでは、5次方程式にもなると解の公式はもっと長くなってしまうのか？と思うかもしれません。ところが、実はそうはなりません。なぜかというと、5次方程式には解の公式が存在しないからなんです。

もっと正確にいうと、5次以上の方程式には解の公式が存在しません。つまり、6次方程式にも7次方程式にも、もっと数字が大きくなっても解の公式は存在しません。

ここでいう存在しないというのは、『私たちの数学が進歩していないために未だに見つかっていない』という意味ではなく、5次以上の次数の方程式に解の公式がないというのは数学的な事実として、つまり定理として証明されていることなのです。

ですから、今後どれだけ数学が進んでも、5次方程式の解の公式が見つかることは絶対にありません。このことは、この事実を証明した数学者の名前を冠してアーベル・ルフィニの定理と呼ばれています。

では、どのような方程式には解の公式があってどのような方程式には解の公式がないのでしょうか。それについては、ガロアという19世紀の天才数学者が、ガロア理論という画期的な理論を構築して話をしています。この話はとても難しいので、ここでは紹介だけにとどめておきましょう。

数学雑学⑥表と裏がない帯？

メビウスの輪という言葉を聞いたことはありませんか？　名前だけなら聞いたことがあるけど、どのようなものかはよく知らないという人もいると思いますので、メビウスの輪について少し紹介してみたいと思います。

メビウスの輪については、言葉で紹介するよりも実際に作って、見てもらった方がわかりやすいと思います。作ってもらうといっても、とても簡単に作れるので心配する必要はないです。

まず1枚の紙を用意します。ノートの紙でもルーズリーフでもなんでもいいです。これをハサミなどで切って帯状の紙切れにします。

まずはこれを何も考えずに端と端をくっつけてみて、テープやのりで貼り合わせてみてください。輪っかができたと思います。これはメビウスの輪ではありません。ただの輪っかです。

『メビウスの輪の作り方と言っておきながら、ただの輪っかじゃないか』と思われるかもしれませんが話の順序の都合上、仕方ないのです。お許しください。次こそメビウスの輪を作りましょう。

帯状の紙切れを作るところまでは先ほどと同じです。端と端をくっつけるところが先ほどと少し違います。何が違うのかというと、端と端をくっつけるとき、メビウスの輪ではただくっつけるのではなく、くっつけるときに1方の端を180°回転、つまり半回転させてからくっつけるのです。

どうでしょうか。先ほど作ったただの輪っかとは違って少しねじれた歪な形の輪っかができたと思います。これこそがメビウスの輪なのです。

ただの輪っかとメビウスの輪。この2つは何が違うのでしょうか。もちろん形が違うのですがそれ以上にこの2つの図形の間には決定的な違いがあります。それが何なのか、みていきましょう。

まず、ただの輪っかの方に鉛筆やペンなどで線を引いてみましょう。輪っかのどこかにペン先を置いて帯に沿って線を引いていきます。すると、いつかペン先はスタート地点に帰ってきます。輪っかに沿って書いた線が一周したわけです。

ここで注目して欲しいのは、この輪っかには今、線が引かれていない部分があるということです。つまり、この輪っかには線を引いたところを表とすると、線を引けなかった裏があるということなんです。

表裏のある紙切れで作った輪っかには、表裏があるのは当たり前だと感じるかもしれません。では、次にメビウスの輪でも同じように帯に沿って線を引きます。線が一周してスタート地点に戻ってくるところまでは先ほどと同じです。

ですが、メビウスの輪とただの輪っかの間には、決定的な違いがあります。それは、メビウスの輪の方には、線が引かれていない部分が存在しないということです。1本の線が途切れないで両面に繋がっている、つまり表と裏がないというわけです。

メビウスの輪のおもしろい性質はこれだけではありません。今度は、先ほどの輪っかとメビウスの輪を引いた線に沿ってハサミで切るということをしてみましょう。

まず、ただの輪っかではどうでしょう。こちらは簡単に想像がつくと思いますが、線に沿ってハサミを入れると、太さが半分の輪っかが2つできることになります。

では、メビウスの輪ではどうでしょう。こちらも同様に線に沿ってハサミを入れていくとなんと、太さは半分だけど大きさは2倍のメビウスの輪が出来上がってしまいます。

メビウスの輪は帯を半回転させて作りましたが、回転の数を増やして作ってから切ってみたり、切ってできた輪を更に切ったりすることで無限に楽しむことができます。

ここからはこの記事を読んでいる皆さんの楽しみを奪わないように詳細は伏せますが、回転の数や切り方を変えることで、メビウスの輪にメビウスの輪がくっついているものができたり、半回転が2箇所にできているようなものができたりします。いろいろと回転数や切り方を変えて楽しんでみてください。

数学雑学⑦解けたら1億円の問題がある？

私たちは、学校で様々な難しい数学の問題に取り組みます。中にはまったく手が出せないというような難問もあることでしょう。そんなとき私たちは大抵、友達と一緒に考えたり、先生に相談したりして答えを導き出します。

世の中には、数学者という職業の人たちがいます。彼らは、数学の問題について考えることを仕事にしている人たちです。では、数学者というのはどのように数学について考えているのでしょうか。

実は、数学者の数学の仕方も似たようなもので、友達の数学者と一緒に考えたり、数学者の先生に相談したりして答えを導きだします。

では、私たちの数学と数学者の数学は何が違うのでしょうか。それは、考えている数学の問題に答えがあるかどうかだと私は思います。

私たちの数学の問題には普通、解答が付いていて、それを使って答え合わせをします。しかし、数学者の考えている数学には、答え合わせに使える解答はありません。なぜなら、数学者の考えている数学というのは、まだ誰も答えを見つけたことのない、1番新しい問題だからです。

そのため、数学者でも答えを知らない数学の問題というのがあって、そういった問題のことを未解決問題といいます。

未解決問題の中でも、特に有名なものでミレニアム問題というものがあります。ミレニアム問題というのは、クレイ数学研究所というところが懸賞金付きで発表した7つの未解決問題のことです。

懸賞金付きというところが気になるところかも知れませんがこの懸賞金、何と100万ドルもします。日本円でいうと、ざっと1億円といったところでしょうか。（注：2024年現在のレートだと約1億5千万円になりますね）

1億円もの懸賞金が付けられるくらいですから、余程重要でかつ、難解な問題なのだということがわかると思います。

そして、このミレニアム問題ですが現時点で解決しているのは1つだけで後の６つは未解決のままです。もしかしたら、この記事を読んでいる人の中からミレニアム問題を将来解決する人が出てくるかも知れないですね。

数学雑学⑧解決に300年かかった問題がある？

先ほど、数学の問題の中には「懸賞金が付くほど難しい問題がある」という話をしました。もちろん、懸賞金が付いていない難問というものもたくさんあります。今回はその中でも、数学の難問の代表格ともいえるものをご紹介しようと思います。

その名も、『フェルマーの最終定理』です。最終定理という名前からしてもう既に強者感がぷんぷんしていると思います。まずは、このフェルマーの最終定理というものがどのような問題なのか説明しようと思います。

フェルマーの最終定理の主張は、こうです。

『nが自然数でn≧3の時、

を満たすような自然数の組（x,y,z）は存在しない』

定理の主張は比較的シンプルで、理解するのはそこまでは難しくはないと思いますが、実はこの定理は主張されてから証明されるまでに300年もかかっているとても難しい問題だったのです。

それでは、フェルマーの最終定理について話をする前にまずは、フェルマーという人物について紹介しようと思います。

実はこのフェルマーという人物、数学者ではありません。フェルマーの本職は裁判官で、数学は趣味としてやっていた程度だったそうです。

数学が趣味ということですが、具体的にどのようなことをやっていたのでしょうか。有名なエピソードとして挙げられるのは、ディオファントスという数学者が3世紀に書いた数学書『算術』の問題を解いては、算術の中の問題よりも難しい問題を作って解くというものでした。

フェルマーの最終定理も、この算術を読む中で思いついたものとされています。この記事の最初の方で三平方の定理というものを紹介しましたが、フェルマーは三平方の定理の式を見てフェルマーの最終定理の着想を得たと言われています。

三平方の定理とはこのような定理でした。

直角三角形の斜辺の長さをz、残りの2辺の長さをそれぞれx、yとすると、

が成り立つというものでした。

実は、上の等式を満たすような自然数の組（x,y,z）は無数にあることが知られています。そこでフェルマーは考えました。指数である2を、3や4に変えたらこの式を満たす自然数の組はどれだけあるのだろう、と。そして、計算をしていく中でフェルマーは気づきます。

『nが自然数でn≧3の時、

を満たすような自然数の組（x,y,z）は存在しない』

ということに。もちろん、このままでは証明のないので定理とは呼べず、予想に過ぎないのですが、フェルマーは算術にこのような書き込みを残してこの世を去ります。

『私は驚くべき証明を見つけたが、それを書き記すには、この余白は狭すぎる』

フェルマーの死後、フェルマーが数々の書き込みを残した算術が出版され、多くの数学者の目に止まるようになりました。その書き込みの中には、フェルマーが作った問題もたくさんあり、数学者たちはこぞってそれを解くようになりました。

フェルマーの問題の中には、難しいものもありましたが、数学者たちの努力の甲斐あってほとんど全ての問題が解決されました。ただ1つを除いて。その最後の問題こそがフェルマーの最終定理だったのです。

数学者たちは最終定理に頭を悩ませることになります。プロの数学者ではなくとも、かなりの実績のあるフェルマーが証明したと言っている以上、証明は必ずあると誰もが信じこの問題に立ち向かうことになりました。

フェルマーの後にも、優れた数学者はたくさん現れて、彼らは少しずつ、少しずつフェルマーの最終定理の解決への道を進めていきます。

そして遂に、1994年。アンドリューワイルズという数学者によってフェルマーの最終定理は完全に証明されます。定理の主張がなされてから300年もの時を経て、ようやくフェルマーの最終定理は『定理』になったのです。

フェルマーの最終定理の解決への道のりについて書かれた本は、本屋に行けばたくさん見つかると思います。興味のある人はぜひ読んでみてください。

まとめ

ここまで読んでくださってありがとうございました。数学は与えられた問題をただ解くだけの退屈な科目だと思っていた人も、今回の記事を読んで少しでも『数学っておもしろいんだ！』と思ってもらえたらとても嬉しいです。

なお、お勉強の事でお困りの際は、是非私たち家庭教師にご相談ください。